3. Решите уравнение \(x^4 = (2x – 8)^2\)

Решение:

Перенесём все члены уравнения в одну сторону:

\( x^4 - (2x - 8)^2 = 0 \)

Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), где \( a = x^2 \) и \( b = (2x - 8) \):

\( (x^2 - (2x - 8))(x^2 + (2x - 8)) = 0 \)

\( (x^2 - 2x + 8)(x^2 + 2x - 8) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

Случай 1: \( x^2 - 2x + 8 = 0 \)

Найдём дискриминант: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28 \).

Так как \( D < 0 \), действительных корней нет.

Случай 2: \( x^2 + 2x - 8 = 0 \)

Найдём дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \).

Найдём корни: \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \)

Ответ: \( x = 2, x = -4 \).