4. Решите уравнение \(x^4 – 10x^2 +9=0\)

Решение:

Это биквадратное уравнение. Введём замену переменной \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 10y + 9 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение:

1. Найдём дискриминант: \( D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \).
2. Найдём корни: \( y_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = 9 \)
3. \( y_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = 1 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = x^2 \):

• Случай 1: \( x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm \sqrt{9} \Rightarrow x = \pm 3 \)
• Случай 2: \( x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm \sqrt{1} \Rightarrow x = \pm 1 \)

Ответ: \( x = 3, x = -3, x = 1, x = -1 \).