5. Решите уравнение \((x + 1)^4 – (x + 1)^2 – 6 = 0\)

Решение:

Это уравнение является биквадратным относительно \( (x+1)^2 \). Введём замену переменной \( y = (x+1)^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - y - 6 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение:

1. Найдём дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).
2. Найдём корни: \( y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \)
3. \( y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = (x+1)^2 \):

• Случай 1: \( (x+1)^2 = 3 \Rightarrow x+1 = \pm \sqrt{3} \Rightarrow x = -1 \pm \sqrt{3} \)
• Случай 2: \( (x+1)^2 = -2 \). Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому действительных корней в этом случае нет.

Ответ: \( x = -1 + \sqrt{3}, x = -1 - \sqrt{3} \).