2. Решите уравнение \(\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0\)

Решение:

Это дробно-рациональное уравнение. Введём замену переменной \( y = \frac{1}{x-2} \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - y - 6 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение:

1. Найдём дискриминант: \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).
2. Найдём корни: \( y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \)
3. \( y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \)

Теперь вернёмся к замене \( y = \frac{1}{x-2} \):

• Случай 1: \( \frac{1}{x-2} = 3 \Rightarrow 1 = 3(x-2) \Rightarrow 1 = 3x - 6 \Rightarrow 3x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{3} \)
• Случай 2: \( \frac{1}{x-2} = -2 \Rightarrow 1 = -2(x-2) \Rightarrow 1 = -2x + 4 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \)

Проверка: Знаменатель \( x-2 \) не равен нулю. При \( x = \frac{7}{3} \), \( x-2 = \frac{7}{3} - 2 = \frac{1}{3} \neq 0 \). При \( x = \frac{3}{2} \), \( x-2 = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2} \neq 0 \). Корни подходят.

Ответ: \( x = \frac{7}{3}, x = \frac{3}{2} \).