1. Розгляньте прямокутник ABCD. Доведіть, що трикутники ABK і CDM рівні.

Решение:

• 1. Дано: Прямокутник ABCD.
• 2. Довести: ╨ABK = ╨CDM
• Доведення:
• 1. AB = CD (протилежні сторони прямокутника).
• 2. ∠BAK = ∠DCM = 90° (за умовою, AK ⊥ BM, CM ⊥ DM).
• 3. ∠B = ∠C = 90° (кути прямокутника).
• Висновок: За катетом і прилеглим гострим кутом (∠BAK = ∠DCM) трикутники ABK і CDM не можна вважати рівними, оскільки AK та CM не є прилеглими гострими кутами до катетів AB та CD відповідно. Рівність трикутників у цьому випадку доводиться за двома катетами, якщо відомо, що AK = CM, або за гіпотенузою та катетом, якщо відомо, що AB = CD.

Примітка: В умові задачі, ймовірно, є неточність. Якщо AK і CM є висотами, проведеними до протилежних сторін, то рівність трикутників ABK і CDM доводиться за катетом і гіпотенузою (якщо AB=CD) або за двома катетами (якщо AK=CM). У наданому тексті вказано, що AK=MC (по умові) та ∠BAK=∠DCM (по умові). Якщо ∠BAK=∠DCM=90°, то це означає, що AK i CM є висотами. Але тоді в умові має бути ∠AKB = ∠CMD = 90°. Тоді трикутники рівні за гіпотенузою (AB=CD) та гострим кутом (∠B = ∠C = 90°, що суперечить умові, якщо AK i CM - висоти). Проте, якщо прийняти, що AK=MC (по умові) і ∠B=∠C=90°, то рівність ╨ABK = ╨CDM за катетом і гіпотенузою є вірною, якщо AB=CD. У цьому випадку BK=DM=5 см.

Відповідь: 5 см.