1) \(\sqrt[7]{7^{2x+6}}\leq\dfrac{\sqrt[4]{x}}{x}\)

Область допустимых значений: \(x>0\).

Преобразуем обе части, взяв натуральный логарифм:

\(\dfrac{2x+6}{7}\ln 7\leq -\dfrac{3}{4}\ln x\), то есть \(f(x)=\dfrac{3}{4}\ln x+\dfrac{2x+6}{7}\ln 7\leq 0\).

Функция строго возрастает при \(x>0\), поскольку \(f'(x)=\dfrac{3}{4x}+\dfrac{2\ln 7}{7}>0\). При \(x\to0^+\) она стремится к \(-\infty\), а при \(x\to+\infty\) — к \(+\infty\). Поэтому уравнение \(f(x)=0\) имеет единственный корень \(\alpha\).

Численно: \(\alpha\approx0.1004\).

Ответ: \(x\in(0;\alpha]\), где \(\alpha\) — единственный корень уравнения \(\dfrac{3}{4}\ln x+\dfrac{2x+6}{7}\ln 7=0\) (приблизительно \(0.1004\)).