1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 9, а боковое ребро равно 6. Найдите угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью её основания. Ответ дайте в градусах.

1. Пусть a - сторона основания, l - боковое ребро. Найдём высоту основания h_o = a * sqrt(3) / 2 = 9 * sqrt(3) / 2. Найдём проекцию бокового ребра на основание p = sqrt(l^2 - H^2), где H - высота пирамиды. В данном случае, нам нужно найти угол между боковым ребром и его проекцией на основание. Проекция бокового ребра на основание будет равна расстоянию от вершины основания до центра основания. Для правильного треугольника это расстояние равно 2/3 высоты основания. r = (2/3) * h_o = (2/3) * (9 * sqrt(3) / 2) = 3 * sqrt(3). Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром (гипотенуза), высотой пирамиды и проекцией бокового ребра на основание. Угол между боковым ребром и плоскостью основания - это угол между боковым ребром и его проекцией. Пусть этот угол равен α. Тогда cos(α) = r / l = (3 * sqrt(3)) / 6 = sqrt(3) / 2. Следовательно, α = 30 градусов.