4. Плоскости двух несмежных боковых граней правильной четырёхугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, а апофема равна 4√2. Найдите сторону основания.

1. Пусть сторона основания равна 'a', апофема равна 'd'. Так как плоскости двух несмежных боковых граней перпендикулярны, то угол между ними равен 90 градусов. В правильной четырёхугольной пирамиде, если две несмежные боковые грани перпендикулярны, то угол между ними равен углу между апофемами этих граней, проведёнными из вершины пирамиды к середине стороны основания. Этот угол равен 90 градусов. Рассмотрим треугольник, образованный двумя апофемами и стороной основания, соединяющей концы этих апофем. Этот треугольник равнобедренный. Если апофемы перпендикулярны, то угол между ними 90 градусов. В этом случае, сторона основания 'a' будет гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного двумя апофемами. a^2 = d^2 + d^2. a^2 = 2 * d^2. a^2 = 2 * (4√2)^2. a^2 = 2 * (16 * 2). a^2 = 2 * 32. a^2 = 64. a = 8.