2. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 2√7, а боковое ребро равно 7. Найдите угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью её основания. Ответ дайте в градусах.

1. Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания - это угол между апофемой и радиусом вписанной окружности основания. Апофема (d) = 2√7, боковое ребро (l) = 7. Найдём высоту боковой грани (h_g) по теореме Пифагора: h_g = sqrt(l^2 - (a/2)^2), где a - сторона основания. Нам нужно найти радиус вписанной окружности (r) основания. В правильном треугольнике r = a / (2 * sqrt(3)). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды и радиусом вписанной окружности. В этом треугольнике, cos(α) = r / d. Нам нужно найти 'a'. Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, апофемой и половиной стороны основания: l^2 = d^2 + (a/2)^2. 7^2 = (2√7)^2 + (a/2)^2. 49 = 28 + a^2/4. 21 = a^2/4. a^2 = 84. a = sqrt(84) = 2√21. Теперь найдём r: r = (2√21) / (2 * sqrt(3)) = sqrt(7). Теперь найдём угол α: cos(α) = r / d = sqrt(7) / (2√7) = 1/2. Следовательно, α = 60 градусов.