№ 1. Существует ли двузначное число, которое при делении на сумму квадратов его цифр дает в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение цифр дает в частном 4 и в остатке 6?

Пусть число имеет вид \(10a+b\), где \(a\) — цифра десятков, а \(b\) — цифра единиц. По условию:

\(10a+b=2(a^2+b^2)+6\) и \(10a+b=4ab+6\).

Приравняем правые части и сократим:

\(2(a^2+b^2)=4ab\), значит, \((a-b)^2=0\), откуда \(a=b\).

Тогда из второго равенства получаем \(11a=4a^2+6\), или \(4a^2-11a+6=0\). Корни этого уравнения — \(a=2\) и \(a=\frac34\). Цифра должна быть целым числом, поэтому остаётся только \(a=2\).

Но при цифрах \(2,2\) число равно 22, а сумма квадратов цифр равна 8. Деление 22 на 8 даёт частное 2 и остаток 6, однако произведение цифр равно 4, а 22 при делении на 4 даёт частное 5 и остаток 2.

Ответ: такого двузначного числа не существует.