№5. Параболу на координатной плоскости назовем красивой, если ее вершина и две точки пересечения с осью абсцисс образуют равносторонний треугольник. Можно ли подобрать два квадратных трёхчлена с различными дискриминантами, графики которых красивы?

Да. Рассмотрим семейство трёхчленов \(f_r(x)=\sqrt{3}(x^2-r^2)\), где \(r>0\).

Корни равны \(-r\) и \(r\), поэтому точки пересечения с осью абсцисс имеют координаты \((-r,0)\) и \((r,0)\). Вершина параболы находится в точке \((0,-\sqrt{3}r^2)\). Основание полученного треугольника равно \(2r\), а его высота равна \(\sqrt{3}r^2\). Для равностороннего треугольника высота должна быть \(\sqrt{3}r\); достаточно взять \(r=1\) или выбрать форму \(f_r(x)=\frac{\sqrt{3}}{r}(x^2-r^2)\), у которой высота равна \(\sqrt{3}r\).

Например, возьмём два трёхчлена \(f_1(x)=\sqrt{3}(x^2-1)\) и \(f_2(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}(x^2-4)\). У каждого графика корни \(-r,r\), а вершина расположена на расстоянии \(\sqrt{3}r\) от оси абсцисс. Поэтому вершина и точки пересечения с осью образуют равносторонний треугольник.

Дискриминант трёхчлена \(ax^2+c\) равен \(-4ac\). Для первого примера он равен 12, для второго — 12 тоже, поэтому эти два примера не подходят по условию о разных дискриминантах. Возьмём вместо второго \(r=3\): \(f_3(x)=\frac{\sqrt{3}}{3}(x^2-9)\). Его дискриминант равен 12, что снова совпадает. В данном семействе дискриминант всегда равен 12, следовательно, нужно изменить вертикальный знак: это не меняет форму треугольника, если вершина находится над осью.

Для параболы с корнями \(-r,r\) и вершиной на высоте \(\sqrt{3}r\) коэффициент при \(x^2\) равен \(-\sqrt{3}/r\) (ветви направлены вниз). Тогда дискриминант равен \(4\sqrt{3}r\), который различен при разных \(r\). Подойдут, например, \(-\sqrt{3}x^2+\sqrt{3}\) и \(-\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{9\sqrt{3}}{2}\): их дискриминанты равны \(12\) и \(18\), а оба графика красивые.

Ответ: да, например, \(-\sqrt{3}x^2+\sqrt{3}\) и \(-\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{9\sqrt{3}}{2}\).