№3. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AC. Точки K, M — проекции вершин A, C соответственно на прямую BD. Через точку K проведена прямая, параллельная BC и пересекающая AC в точке P. Найдите градусную меру угла KPM.

Так как \(AC\) — диаметр описанной окружности, угол \(ABC\) прямой. Однако из этого и указанных условий величина угла \(KPM\) не определяется однозначно: она зависит от расположения прямой \(BD\), а дополнительных условий на четырёхугольник нет.

Например, зададим координаты \(B=(0,0)\), \(C=(1,0)\), \(A=(0,1)\). Тогда \(\angle ABC=90^\circ\), и окружность с диаметром \(AC\) проходит через \(B\). Возьмём прямую \(BD\) с направляющим вектором \((1,1)\). Проекции \(K\) и \(M\) точек \(A\,\) и \(C\) на эту прямую совпадают. Тогда луч \(PM\) совпадает с лучом \(PK\), и угол \(KPM=0^\circ\).

Если вместо этого взять прямую \(BD\) с направляющим вектором \((1,2)\), проекции \(K\) и \(M\) различны, и угол \(KPM\) будет другим. В обоих случаях можно выбрать точку \(D\) на прямой \(BD\), отличную от \(B\), так что условия задачи сохраняются.

Ответ: по приведённым условиям угол однозначно определить нельзя.