№2. В некоторых клетках таблицы 10 × 10 расставлены несколько крестиков и несколько ноликов. Известно, что нет линии (строки или столбца), полностью заполненной одинаковыми значками (крестиками или ноликами). Однако, если в любую пустую клетку поставить любой значок, то это условие нарушится. Какое минимальное число значков может стоять в таблице?

Рассмотрим любую пустую клетку. Чтобы добавление крестика нарушило условие, в её строке или столбце должны быть уже девять крестиков. Чтобы добавление нолика тоже нарушило условие, в другой пересекающейся с этой клеткой линии должны быть уже девять ноликов. Значит, у каждой пустой клетки одна линия почти полностью заполнена крестиками, а перпендикулярная ей — ноликами.

Таких пустых клеток не может быть две. Действительно, если почти полностью заполненная крестиками строка и почти полностью заполненный ноликами столбец пересекаются в пустой клетке, то эта строка и этот столбец не могут содержать ещё одну пустую клетку: пересечение любой другой такой строки или столбца с ними уже занято значком. Следовательно, пустая клетка может быть только одна, и в таблице должно быть не менее 99 значков.

Граница достижима: оставим пустой одну клетку; в её строке поставим девять крестиков, а в её столбце — девять ноликов. Остальные клетки заполним так, чтобы ни одна строка и ни один столбец не были одноцветными, например чередованием значков с учётом уже заданных клеток. Тогда добавление крестика в пустую клетку завершит строку из крестиков, а добавление нолика — столбец из ноликов.

Ответ: 99 значков.