№4. Найдите наименьшее значение y, которое удовлетворяет целым решениям системы { x + 18 = 2y² + 4z², z − 18 = x² − 2y². }

Обозначим \(t=y^2\). Первое уравнение даёт \(x=2t+4z^2-18\), а второе — \(z=x^2-2t+18\). Исключая \(t\), получаем необходимое условие на целые \(x,z\):

\(x=2(x^2-z+18)+4z^2-18\), то есть \(2x^2-x+4z^2-2z+18=0\).

Но для целых \(x,z\) левая часть строго положительна: \(2x^2-x\ge 0\) для любого целого \(x\), а \(4z^2-2z+18\ge 18\) для любого целого \(z\). Поэтому равенство нулю невозможно.

Следовательно, система не имеет целых решений, и значения \(y\), удовлетворяющего условию, не существует.

Ответ: такого значения \(y\) нет.