1. Тип 15 Вариант 2 Радиус окружности с центром в точке О равен 75, длина хорды АВ равна 42 (см. рис.). Найдите расстояние от хорды АВ до параллельной ей касательной к.

Решение:

Пусть \(R\) — радиус окружности, \(R = 75\) см.

Пусть \(AB\) — хорда, \(AB = 42\) см.

Пусть \(M\) — середина хорды \(AB\). Тогда \(AM = MB = \frac{42}{2} = 21\) см.

\(OM\) — перпендикуляр к хорде \(AB\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(OMA\).

По теореме Пифагора: \(OA^2 = OM^2 + AM^2\)

\[ 75^2 = OM^2 + 21^2 \]

\[ 5625 = OM^2 + 441 \]

\[ OM^2 = 5625 - 441 \]

\[ OM^2 = 5184 \]

\[ OM = \(\sqrt{5184}\) = 72 \) см.

Пусть касательная, параллельная хорде \(AB\), касается окружности в точке \(K\). Точка \(K\) лежит на продолжении радиуса \(OM\) (или на \(OM\), если хорда проходит через центр).

Расстояние от хорды \(AB\) до касательной \(K\) будет равно расстоянию от \(AB\) до точки \(K\).

Так как касательная параллельна хорде, то радиус, проведённый в точку касания \(K\), будет перпендикулярен касательной, а значит, и хорде \(AB\).

Точка \(K\) находится на окружности, на продолжении отрезка \(OM\). Следовательно, \(OK = R = 75\) см.

Расстояние от хорды \(AB\) до касательной \(K\) равно расстоянию от \(M\) до \(K\).

\(MK = OK - OM\)

\[ MK = 75 - 72 = 3 \) см.

Ответ: 3