3. Тип 17 Площадь прямоугольного треугольника равна 18√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \(\angle C = 90^{\circ}\). Пусть \(\angle A = 60^{\circ}\), тогда \(\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\).

Площадь треугольника \(S = \frac{1}{2}ab\), где \(a\) и \(b\) — катеты.

Нам дана площадь \(S = 18\sqrt{3}\).

Катет, прилежащий к углу \(60^{\circ}\), — это катет \(b\) (прилежащий к углу A).

Из свойств прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла \(30^{\circ}\) (т.е. катет \(a\)), равен половине гипотенузы \(c\). Катет, лежащий против угла \(60^{\circ}\) (т.е. катет \(b\)), равен \(a\sqrt{3}\) или \(\frac{c\sqrt{3}}{2}\).

Используя тангенс угла:

\(\tan(60^{\circ}) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}\)

\(\sqrt{3} = \frac{a}{b}\) ⇒ \(a = b\sqrt{3}\)

Подставим это в формулу площади:

\[ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}(b\sqrt{3})b = \frac{b^2\sqrt{3}}{2} \]

Нам дана площадь \(18\sqrt{3}\). Приравняем:

\[ \frac{b^2\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \]

\[ b^2\sqrt{3} = 36\sqrt{3} \]

\[ b^2 = 36 \]

\[ b = 6 \]

Катет, прилежащий к углу \(60^{\circ}\), равен 6.

Ответ: 6