6. Тип 23 Четырёхугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 86, SQ = 43.

Решение:

Поскольку около четырёхугольника NPQM можно описать окружность, он является вписанным.

Вписанный четырёхугольник обладает свойством, что сумма противоположных углов равна \(180^{\circ}\).

По условию, NQ является биссектрисой \(\angle PNM\), значит, \(\angle PNQ = \angle MNQ\).

Так как четырёхугольник вписан, углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Углы \(\angle PNQ\) и \(\angle NMP\) опираются на дугу NP, следовательно, \(\angle PNQ = \angle NMP\).

Углы \(\angle MNQ\) и \(\angle MPN\) опираются на дугу MN, следовательно, \(\angle MNQ = \angle MPN\).

Из равенства биссектрисы следует:

\(\angle PNQ = \angle MNQ\).

Тогда \(\angle NMP = \angle MPN\).

Рассмотрим треугольник NPS. У него \(\angle NPS = \angle NMS\) (это \(\angle MPN\) и \(\angle NMP\)). Это означает, что треугольник NPS является равнобедренным с боковыми сторонами NS и PS.

\(NS = PS\).

Теперь рассмотрим треугольник PMQ. У него \(\angle NPQ = \angle NMQ\) (опираются на дугу NQ).

Из условия \(\angle PNQ = \angle MNQ\) и \(\angle NMP = \angle MPN\).

Пусть \(\angle PNQ = \angle MNQ = \alpha\). Тогда \(\angle PNM = 2\alpha\).

В треугольнике PMN, \(\angle MPN = \angle NMP = \alpha\) (так как \(\angle MNQ = \alpha\) и \(\angle NMP = \angle MNQ\)).

Это означает, что треугольник PMN равнобедренный с \(PN = MN\).

В треугольнике PNQ и MNQ, NQ — общая сторона, \(\angle PNQ = \angle MNQ = \alpha\), \(PN = MN\). По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), \(\triangle PNQ = \triangle MNQ\). Следовательно, PQ = MQ.

Но нам дано PQ = 86.

Рассмотрим треугольник PSQ. Угол \(\angle PSQ\) — внешний угол треугольника NSQ. \(\angle PSQ = \angle SNQ + \angle SQN\).

Также \(\angle PSQ = \angle PQS + \angle QPS\).

Мы знаем, что \(NS = PS\).

В треугольнике PSQ, \(\angle PQS = \angle MPN = \alpha\).

Угол \(\angle SQP\) равен \(\angle SQM\).

Из условия PQ = 86, SQ = 43. Угол \(\angle PSQ\) и \(\angle NSM\) — вертикальные.

Рассмотрим треугольник NQS. \(NQ = NS + SQ\) (это неверно, S лежит на NQ).

S лежит на пересечении диагоналей PM и NQ.

Углы \(\angle NMP = \angle MPN\) (равны \(\alpha\)) означает, что \(\triangle PMS\) равнобедренный, \(PS = MS\).

По условию PQ = 86, SQ = 43. Заметим, что \(SQ = \frac{1}{2} PQ\).

Из того, что \(\triangle PMS\) равнобедренный, \(PS = MS\).

Из того, что \(\triangle PNQ\) и \(\triangle MNQ\) равны, следует, что \(PQ = MQ\) и \(PN = MN\).

Рассмотрим треугольник PMQ. Мы знаем, что \(PQ = MQ = 86\).

Теперь рассмотрим треугольник PSQ. Угол \(\angle QPS\) равен \(\alpha\). Угол \(\angle PQS\) равен \(\angle PMQ\), который равен \(\angle PNQ = \alpha\).

Значит, \(\triangle PSQ\) равнобедренный, \(PS = SQ\).

По условию \(SQ = 43\).

Следовательно, \(PS = 43\).

Так как \(NS = PS\) (из равнобедренного \(\triangle NPS\)), то \(NS = 43\).

Ответ: 43