1. Точки M, N, K и P — середины рёбер AC, AD, BD и BC тетраэдра DABC соответственно, AB = 30 см, CD = 26 см (рис. 107). Докажите, что точки M, N, K и P являются вершинами параллелограмма, и вычислите периметр этого параллелограмма.

Рассмотрим треугольник ADC. Точки M и N — середины его сторон AC и AD. Поэтому по теореме о средней линии треугольника:

\(MN \parallel CD\), \(MN=\frac12CD=13\) см.

Рассмотрим треугольник DBC. Точки K и P — середины его сторон DB и BC. Поэтому:

\(KP \parallel CD\), \(KP=\frac12CD=13\) см.

Следовательно, \(MN \parallel KP\) и \(MN=KP\).

Аналогично, в треугольнике ADB отрезок NK является средней линией:

\(NK \parallel AB\), \(NK=\frac12AB=15\) см.

В треугольнике ACB отрезок MP также является средней линией:

\(MP \parallel AB\), \(MP=\frac12AB=15\) см.

Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника MNKP попарно параллельны, поэтому MNKP — параллелограмм.

Периметр:

\(P=2(MN+NK)=2(13+15)=56\) см.

Ответ: MNKP — параллелограмм; его периметр равен 56 см.