1. Центральный угол АОВ, равный 60°, опирается на хорду АВ длиной 4. Найдите радиус окружности.

Решение:

Центральный угол \( \angle AOB = 60^{\circ} \) и опирается на хорду \( AB = 4 \).

Так как \( OA = OB \) (радиусы окружности), то \( \triangle AOB \) — равнобедренный.

Углы при основании \( \triangle AOB \) равны: \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - 60^{\circ}}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

Таким образом, \( \triangle AOB \) — равносторонний, так как все его углы равны \( 60^{\circ} \).

Следовательно, сторона \( AB \) равна радиусу окружности: \( R = AB = 4 \).

Ответ: 4.