6. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 24°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть касательные, проведенные из точки С к окружности в точках А и В, пересекаются под углом \( \angle ACB = 24^{\circ} \).

\( OA \perp AC \) и \( OB \perp BC \) (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

\( \triangle OAC \) и \( \triangle OBC \) — прямоугольные треугольники.

\( OA = OB \) (радиусы).

\( OC \) — общая гипотенуза.

Следовательно, \( \triangle OAC = \triangle OBC \) по гипотенузе и катету.

\( \angle ACO = \angle BCO = \frac{24^{\circ}}{2} = 12^{\circ} \).

\( \angle AOC = \angle BOC = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ} - 12^{\circ}}{1} = 78^{\circ} \).

\( \triangle OAB \) — равнобедренный, так как \( OA = OB \).

\( \angle AOB = \angle AOC + \angle BOC = 78^{\circ} + 78^{\circ} = 156^{\circ} \).

Углы при основании \( \triangle OAB \) равны:

\( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - 156^{\circ}}{2} = \frac{24^{\circ}}{2} = 12^{\circ} \).

Ответ: 12.