5. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:5:10. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 19.

Решение:

Пусть длины дуг относятся как \( 3x \), \( 5x \) и \( 10x \).

Сумма длин дуг равна длине окружности: \( 3x + 5x + 10x = 18x \).

Соответствующие центральные углы равны \( 3\alpha \), \( 5\alpha \) и \( 10\alpha \).

Сумма центральных углов равна \( 360^{\circ} \): \( 3\alpha + 5\alpha + 10\alpha = 18\alpha = 360^{\circ} \), откуда \( \alpha = 20^{\circ} \).

Углы равны: \( 3\alpha = 60^{\circ} \), \( 5\alpha = 100^{\circ} \), \( 10\alpha = 200^{\circ} \).

Меньшая сторона треугольника соответствует наименьшему центральному углу \( 60^{\circ} \).

Пусть \( R \) — радиус окружности. По теореме косинусов для треугольника со стороной \( a = 19 \) и центральным углом \( \gamma = 60^{\circ} \):

\( a^2 = R^2 + R^2 - 2R \cdot R \cos(\gamma) \)

\( 19^2 = 2R^2 - 2R^2 \cos(60^{\circ}) \)

\( 361 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \frac{1}{2} \)

\( 361 = 2R^2 - R^2 \)

\( 361 = R^2 \)

\( R = \sqrt{361} = 19 \).

Ответ: 19.