1. Упростите выражение \(\frac{y}{x+y} : \left( \frac{x}{x+y} - \frac{x-y}{x} \right)\)

Задание 1. Упрощение выражения

Для упрощения выражения сначала преобразуем выражение в скобках:

\( \frac{x}{x+y} - \frac{x-y}{x} = \frac{x \cdot x - (x-y)(x+y)}{x(x+y)} = \frac{x^2 - (x^2 - y^2)}{x(x+y)} = \frac{x^2 - x^2 + y^2}{x(x+y)} = \frac{y^2}{x(x+y)} \)

Теперь выполним деление:

\( \frac{y}{x+y} : \frac{y^2}{x(x+y)} = \frac{y}{x+y} \cdot \frac{x(x+y)}{y^2} \)

Сократим одинаковые множители:

\( \frac{\cancel{y}}{\cancel{x+y}} \cdot \frac{x\cancel{(x+y)}}{\cancel{y^2}} = \frac{x}{y} \)

Ответ: \( \frac{x}{y} \).