5. Упростите выражение \(\left( a+3 - \frac{12a}{a+3} \right) \left( \frac{2a}{a-3} - \frac{4a^2}{a^2-6a+9} \right)\)

Задание 5. Упрощение выражения

Для начала упростим каждое выражение в скобках отдельно.

Первая скобка:

\[ a+3 - \frac{12a}{a+3} = \frac{(a+3)(a+3) - 12a}{a+3} = \frac{a^2 + 6a + 9 - 12a}{a+3} = \frac{a^2 - 6a + 9}{a+3} \]

Заметим, что числитель \( a^2 - 6a + 9 \) является полным квадратом: \( (a-3)^2 \).

Таким образом, первая скобка равна: \( \frac{(a-3)^2}{a+3} \).

Вторая скобка:

Знаменатель \( a^2 - 6a + 9 \) равен \( (a-3)^2 \).

\[ \frac{2a}{a-3} - \frac{4a^2}{(a-3)^2} \]

Приведем к общему знаменателю \( (a-3)^2 \):

\[ \frac{2a(a-3)}{(a-3)^2} - \frac{4a^2}{(a-3)^2} = \frac{2a^2 - 6a - 4a^2}{(a-3)^2} = \frac{-2a^2 - 6a}{(a-3)^2} \]

Вынесем общий множитель \( -2a \) из числителя:

\[ \frac{-2a(a+3)}{(a-3)^2} \]

Теперь перемножим упрощенные выражения:

\[ \frac{(a-3)^2}{a+3} \cdot \frac{-2a(a+3)}{(a-3)^2} \]

Сократим одинаковые множители \( (a-3)^2 \) и \( (a+3) \):

\[ \frac{\cancel{(a-3)^2}}{\cancel{a+3}} \cdot \frac{-2a\cancel{(a+3)}}{\cancel{(a-3)^2}} = -2a \]

Ответ: \( -2a \).