1. В кабинете сидят N нерях, у каждого на его столе скопилось ненулевое количество мусора. Неряхи выходят обедать по одному (после возвращения предыдущего), а в это время каждый из остальных перекладывает половину мусора со своего стола на стол вышедшего. Может ли случиться, что после того, как все пообедали, количество мусора на столе у каждого будет таким же, как и до обеда, если: а) N = 2; б) N = 10?

Обозначим начальные количества мусора через положительные числа x₁, …, xₙ.

Когда обедает человек i, каждый из остальных переносит половину своего мусора на его стол. Поэтому после этого его стол содержит сумму половин мусора со столов остальных, а на каждом из этих столов остаётся половина прежнего количества.

Рассмотрим обеды в порядке 1, 2, …, N. Для стола человека 1 после его возвращения количество мусора равно (x₂ + … + xₙ)/2. В каждый из следующих обедов его содержимое уменьшается вдвое. Значит, в конце там будет (x₂ + … + xₙ)/2ᴺ. Если итог должен совпасть с начальным количеством x₁, то x₁ = (x₂ + … + xₙ)/2ᴺ. Аналогично для каждого i: 2ᴺxᵢ = сумма всех xⱼ, кроме xᵢ.

Следовательно, (2ᴺ + 1)xᵢ = S для всех i, где S = x₁ + … + xₙ. Все xᵢ равны. Подстановка даёт 2ᴺx = (N − 1)x, то есть 2ᴺ = N − 1. Для N = 2 и N = 10 это равенство неверно.

Ответ: а) нет; б) нет.