5. На каждой клетке доски 5×5 лежит по одной монете, все монеты внешне одинаковы. Среди них ровно 2 монеты фальшивые, они одинакового веса и легче настоящих, которые тоже весят одинаково. Фальшивые монеты лежат в клетках, имеющих ровно одну общую вершину. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах без гирь гарантированно найти: а) 13 настоящих монет; б) 15 настоящих монет; в) 17 настоящих монет?

Разобьём 25 клеток на 12 пар соседних по вершине клеток и одну оставшуюся клетку так, чтобы любые две клетки, имеющие ровно одну общую вершину, оказались в разных группах. Для доски 5×5 это возможно раскраской клеток в три цвета по чётности координат: клетки, соседние только вершиной, имеют одинаковую чётность обеих координат; используем классы по чётности суммы координат и уточняющую раскраску для диагональных пар.

Однако это не даёт надёжного определения при одном взвешивании: результат чашечных весов имеет только три исхода, а возможных положений пары фальшивых монет значительно больше. Для нахождения 13, 15 или 17 конкретных настоящих монет нужно после взвешивания исключить все пары, содержащие выбранные монеты; одна из трёх возможностей должна гарантировать это для любого расположения пары.

Для произвольной пары диагонально соприкасающихся клеток различить все случаи одним взвешиванием нельзя: если обе чаши уравновесились, равенство может означать, что фальшивые монеты распределены поровну между чашами либо обе лежат вне чаш; исход «левая легче» и «правая легче» также объединяет множество пар. Следовательно, без дополнительной схемы распределения монет гарантировать заявленное количество нельзя.

Ответ: а) нет; б) нет; в) нет.