2. В треугольнике ABC провели медианы BK и CN, пересекающиеся в точке M. Какое наибольшее количество сторон четырёхугольника ANMK может иметь длину 1?

Пусть G — центр тяжести треугольника, то есть точка M. Тогда M делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому AN = AK = a, NM = MK = b, где a = AC/2, b = BK/3 = CN/3.

У четырёхугольника ANMK две пары равных противоположных сторон: AN = MK и NM = KA. Чтобы длину 1 имели все четыре стороны, нужно a = b = 1. Это возможно: например, возьмём треугольник с AC = 2 и высотами из B и C, равными 3. Можно выбрать координаты A = (−1, 0), C = (1, 0), B = (0, 3); тогда BK = CN = 3, и все четыре стороны ANMK равны 1.

Следовательно, наибольшее число таких сторон — четыре.

Ответ: 4.