3. На столе лежат 2023 игральных кубика. За 1 рубль можно выбрать любой кубик и переставить его на любую из четырёх граней, которые сейчас для него боковые. За какое наименьшее количество рублей гарантированно удастся поставить все кубики так, чтобы на верхних гранях у них было поровну точек? (Количество точек на гранях каждого игрального кубика равно числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, суммарное число точек на противоположных гранях всегда равно 7.)

На одном кубике верхнее число можно изменить одним ходом на любое из четырёх чисел, не противоположных текущему верхнему. Чтобы гарантированно добиться заданного числа k, достаточно одного хода: если сверху не k, число k находится на одной из боковых граней, поскольку противоположная верхней грань не может быть k одновременно с текущим верхним числом k.

Нужно выбрать общее число точек. Пусть это будет 3. На каждом кубике, где сверху не 3, переставим его на грань с тремя точками. Сколько кубиков потребуется изменить, заранее неизвестно, но в худшем случае — все 2023. Меньше гарантировать нельзя: если исходно сверху на всех кубиках число 1, то чтобы получить равное число точек на всех верхних гранях, нужно изменить как минимум 2022 кубика; каждый кубик меняется не более одного раза за рубль.

Уточним нижнюю границу: при исходных верхних гранях, попарно распределённых между значениями 1–6 как можно равномернее, итоговое общее значение должно совпасть с одним из этих значений. Для любого выбранного значения среди 2023 кубиков не более ⌈2023/6⌉ = 338 уже имеют его сверху. Значит, не менее 2023 − 338 = 1685 кубиков придётся переставить. Эта оценка достижима при распределении верхних чисел с 338 кубиками каждого из пяти значений и 333 — шестого: выбирая значение, представленное 338 раз, достаточно изменить 1685 кубиков. Однако из-за ограничения на поворот боковая грань с целевым числом всегда доступна, так как целевое число отличается от исходного верхнего и не является его противоположным.

Ответ: 1685 рублей.