№ 1. В кубе A…D₁ найдите угол между прямыми AB₁ и A₁C₁.

Перенесём прямую A₁C₁ параллельно так, чтобы она проходила через B₁. Получим прямую, параллельную A₁C₁, и рассмотрим угол между её направлением и AB₁.

Пусть ребро куба равно a. Векторы можно задать координатами: \(\overrightarrow{AB_1}=(a,0,a)\), \(\overrightarrow{A_1C_1}=(a,a,0)\). Их скалярное произведение равно \(a^2\), а длина каждого — \(a\sqrt{2}\).

По формуле скалярного произведения \(\cos\varphi=\dfrac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\dfrac12\), поэтому \(\varphi=60^\circ\).

Ответ: 60°.