1. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке K. Известно, что BK = 5, KC = 3. Найдите периметр параллелограмма.

Так как BC = BK + KC = 5 + 3 = 8, а AB ∥ CD и BC ∥ AD.

Поскольку AK — биссектриса угла DAB, углы BAK и AKD равны как накрест лежащие при параллельных прямых AB и DK (здесь D, K не лежат на одной прямой; используем AB ∥ CD, поэтому сравним с продолжением стороны: стандартное свойство даёт AB = BK). Действительно, в треугольнике ABK угол BAK равен углу AKB, поскольку AK биссектриса и AB ∥ KC? Нет: BC параллельна AD, так что ∠AKB равен углу между AK и AD, а он равен ∠BAK. Следовательно, треугольник ABK равнобедренный, AB = BK = 5.

Периметр равен 2(AB + BC) = 2(5 + 8) = 26.

Ответ: 26.