1. В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 17°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Краткая запись:

• Параллелограмм ABCD
• AC = 2 AB
• ∠ACD = 17°
• Найти: Меньший угол между диагоналями — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Введем обозначения. Пусть AB = x, тогда AC = 2x.
2. Шаг 2: В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому CD = AB = x.
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник ACD. По теореме синусов: \( \frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} \).
4. Шаг 4: Мы знаем, что ∠ACD = 17°. Также ∠ADC = 180° - ∠BCD. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, но это не поможет нам напрямую.
5. Шаг 5: Рассмотрим треугольник OCD, где O — точка пересечения диагоналей. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Значит, OC = AO = x, OD = OB.
6. Шаг 6: В треугольнике OCD: CD = x, OC = x. Это означает, что треугольник OCD равнобедренный.
7. Шаг 7: В равнобедренном треугольнике OCD, углы при основании равны. Угол ∠ODC = ∠OCD = 17°.
8. Шаг 8: Сумма углов треугольника OCD равна 180°. ∠COD = 180° - (∠OCD + ∠ODC) = 180° - (17° + 17°) = 180° - 34° = 146°.
9. Шаг 9: ∠COD и ∠AOB — вертикальные углы, поэтому ∠AOB = ∠COD = 146°.
10. Шаг 10: ∠AOD и ∠BOC — вертикальные углы. Они смежны с ∠COD, поэтому ∠AOD = ∠BOC = 180° - 146° = 34°.
11. Шаг 11: Углы между диагоналями — это 146° и 34°. Меньший угол равен 34°.

Ответ: 34