3. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 72 и ВС = 3. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Краткая запись:

• Отрезок АВ
• Точка С на АВ
• AC = 72
• BC = 3
• Окружность с центром А, проходит через С.
• BT — касательная к окружности, T — точка касания.
• Найти: BT — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем длину отрезка AB. Так как точка C лежит на отрезке AB, то AB = AC + BC.
2. Шаг 2: AB = 72 + 3 = 75.
3. Шаг 3: Радиус окружности с центром А, проходящей через точку С, равен AC = 72.
4. Шаг 4: Проведем радиус AT. Радиус AT перпендикулярен касательной BT в точке касания T. Следовательно, угол ∠ATB = 90°.
5. Шаг 5: Рассмотрим прямоугольный треугольник ATB. По теореме Пифагора: \( AB^2 = AT^2 + BT^2 \).
6. Шаг 6: Подставляем известные значения: \( 75^2 = 72^2 + BT^2 \).
7. Шаг 7: Вычисляем квадраты: \( 5625 = 5184 + BT^2 \).
8. Шаг 8: Находим BT²: \( BT^2 = 5625 - 5184 = 441 \).
9. Шаг 9: Извлекаем квадратный корень: \( BT = \sqrt{441} = 21 \).

Ответ: 21