1. В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и \(\angle\) ACD = 77°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Пусть \( AB = x \). Тогда \( AC = 2x \).
2. В треугольнике ABC, по теореме синусов, \( \frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{AB}{\sin \angle ACB} \).
3. В треугольнике ABC, \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \).
4. В параллелограмме противоположные углы равны, значит \( \angle ABC = \angle ADC \) и \( \angle BAD = \angle BCD \).
5. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит \( \angle ABC + \angle BCD = 180° \).
6. В параллелограмме диагонали делятся пополам. Пусть точки пересечения диагоналей — O. Тогда \( AO = OC = \frac{1}{2}AC = x \) и \( BO = OD \).
7. В треугольнике BOC: \( OC = OB = x \), следовательно, он равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB \).
8. В треугольнике AOB: \( AO = OB = x \), следовательно, он равнобедренный. \( \angle OAB = \angle OBA \).
9. Пусть \( \angle BAC = \alpha \). Тогда \( \angle ACD = \angle BAC = \alpha = 77° \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC).
10. В треугольнике ABC: \( \angle ABC = 180° - \angle ACB - \angle BAC = 180° - \angle ACB - 77° \).
11. Так как \( AC = 2AB \), то \( 2x = 2x \), что не дает информации.
12. Рассмотрим треугольник BOC. \( OB = OC = x \). \( \angle OCB = \angle ACB \). \( \angle ACB = \angle BCD - \angle ACD \).
13. В параллелограмме \( \angle BCD = \angle BAD \). \( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \). \( \angle CAD = \angle ACB \) (как накрест лежащие).
14. Пусть \( \angle BAC = \alpha \). Тогда \( \angle ACD = 77° \).
15. В параллелограмме ABCD, \( AB \parallel CD \) и \( AC \) — секущая. Значит, \( \angle BAC = \angle ACD = 77° \) (накрест лежащие углы).
16. В треугольнике ABC: \( \angle ABC = 180° - \angle ACB - \angle BAC \).
17. В параллелограмме ABCD: \( \angle ABC + \angle BCD = 180° \). \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = \angle BCA + 77° \).
18. \( \angle ABC + \angle BCA + 77° = 180° \).
19. Сравнивая два уравнения для \( \angle ABC \): \( 180° - \angle ACB - 77° = 180° - \angle ABC - 77° \).
20. Пусть \( \angle BAC = \alpha \). \( \angle ACD = 77° \). \( \angle BAC = \angle ACD = 77° \) (накрест лежащие).
21. В треугольнике AOB, \( AO = OB = x \), значит \( \angle OAB = \angle OBA = 77° \).
22. Тогда \( \angle AOB = 180° - (77° + 77°) = 180° - 154° = 26° \).
23. Угол \( \angle AOB \) — один из углов между диагоналями. Другой угол — смежный с ним, \( 180° - 26° = 154° \).
24. Меньший угол равен 26°.

Ответ: 26