2. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 56 и ВС = ВМ. Найдите АН.

Решение:

1. Пусть \( AC = 56 \).
2. В треугольнике BCM, \( BC = BM \). Это означает, что треугольник BCM равнобедренный.
3. M — середина AC, поэтому \( CM = AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \times 56 = 28 \).
4. В равнобедренном треугольнике BCM, \( \angle BCM = \angle BMC \).
5. BH — высота, поэтому \( \angle BHC = 90° \).
6. Рассмотрим треугольник BHC. \( BH^2 + HC^2 = BC^2 \).
7. Рассмотрим треугольник BHM. \( BH^2 + HM^2 = BM^2 \).
8. Так как \( BC = BM \), то \( BC^2 = BM^2 \).
9. Следовательно, \( BH^2 + HC^2 = BH^2 + HM^2 \).
10. \( HC^2 = HM^2 \).
11. Отсюда \( HC = HM \) (так как длины отрезков положительны).
12. \( HC = HM \) означает, что M — середина отрезка HC.
13. \( CM = 28 \).
14. \( HM = CM = 28 \).
15. \( HC = HM + MC = 28 + 28 = 56 \).
16. \( AH = AC - HC = 56 - 56 = 0 \). Это невозможно, так как A, H, C — точки на одной прямой.
17. Проверим условие: \( BC = BM \). Это значит, что точка M лежит на окружности с центром B и радиусом BC.
18. Рассмотрим треугольник ABC. M — середина AC. BM — медиана.
19. Если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. \( BM = \frac{1}{2}AC \).
20. Значит, \( \angle ABC = 90° \).
21. BH — высота. В прямоугольном треугольнике ABC, высота, проведенная из вершины прямого угла, обладает свойствами: \( BH^2 = AH \times HC \) и \( AB^2 = AH \times AC \), \( BC^2 = HC \times AC \).
22. По условию, \( BC = BM \). \( BM = \frac{1}{2}AC \).
23. Значит, \( BC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \times 56 = 28 \).
24. Теперь используем формулу \( BC^2 = HC \times AC \): \( 28^2 = HC \times 56 \).
25. \( 784 = HC \times 56 \).
26. \( HC = \frac{784}{56} = 14 \).
27. \( AH = AC - HC = 56 - 14 = 42 \).

Ответ: 42