3. Площадь прямоугольного треугольника равна 72√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Дано: Площадь \( S = 72\sqrt{3} \), один острый угол \( \alpha = 60^{\circ} \).
• Найти: Катет, прилежащий к углу \( \alpha \) (пусть это будет \( b \)).
• Свойства треугольника: В прямоугольном треугольнике \( \tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \).
• Площадь: \( S = \frac{1}{2}ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты.
• Вывод: Из \( \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \) следует, что \( \frac{a}{b} = \sqrt{3} \), то есть \( a = b\sqrt{3} \).
• Подстановка в формулу площади:
  \( 72\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot (b\sqrt{3}) \cdot b \)
  \( 72\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} b^2 \)
• Решение для b:
  \( b^2 = \frac{72\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} \)
  \( b^2 = 144 \)
  \( b = \sqrt{144} = 12 \).

Ответ: 12