1. В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы AB, AM = 13 см, BC = 10 см. Найдите: а) |AC|; б) |AC + CB|; в) |AM − AC|.

Так как M — середина AB, то AB = 2 · AM = 26 см. Векторы в подпунктах б) и в) обозначены без стрелок в условии, поэтому рассматриваем их как векторы.

1. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB, поэтому по теореме Пифагора: AC² = AB² − BC² = 26² − 10² = 576. Значит, |AC| = 24 см.
2. По правилу треугольника векторов AC + CB = AB. Поэтому |AC + CB| = |AB| = 26 см.
3. Поскольку AM = ½AB, вектор AM направлен вдоль AB и имеет длину 13. Для вычисления модуля разности можно использовать скалярные произведения. Из теоремы косинусов угол между AC и AB удовлетворяет cos A = (AB² + AC² − BC²)/(2 · AB · AC) = (676 + 576 − 100)/(2 · 26 · 24) = 11/12. Тогда |AM − AC|² = |AM|² + |AC|² − 2|AM||AC|cos A = 169 + 576 − 2 · 13 · 24 · 11/12 = 173. Следовательно, |AM − AC| = √173 см.

Ответ: а) 24 см; б) 26 см; в) √173 см.