1. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 75, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 9√69. Найдите sin ∠ABC.

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ - прямоугольный} \]
• \[ AC = 75 \]
• \[ CH \perp AB, CH = 9\sqrt{69} \]

Найти:

• \[ \sin \angle ABC \]

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, по теореме Пифагора:
2. \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
3. В прямоугольном треугольнике CHB:
4. \[ BC^2 = CH^2 + HB^2 \]
5. Также, в прямоугольном треугольнике ABC:
6. \[ AC^2 = AH \cdot HB \]
7. \[ CH^2 = AH \cdot HB \]
8. Из подобия треугольников ABC и ACH:
9. \[ \frac{AC}{AB} = \frac{CH}{BC} \]
10. Из подобия треугольников ABC и CBH:
11. \[ \frac{BC}{AB} = \frac{CH}{AC} \]
12. Мы знаем, что \( AC = 75 \) и \( CH = 9\sqrt{69} \).
13. Из подобия \( \triangle ABC \sim \triangle CBH \) следует:
14. \[ \frac{BC}{AB} = \frac{CH}{AC} \]
15. Из подобия \( \triangle ABC \sim \triangle ACH \) следует:
16. \[ \frac{AC}{AB} = \frac{CH}{BC} \]
17. Умножим эти два равенства:
18. \[ \frac{BC}{AB} \cdot \frac{AC}{AB} = \frac{CH}{AC} \cdot \frac{CH}{BC} \]
19. \[ \frac{AC \cdot BC}{AB^2} = \frac{CH^2}{AC \cdot BC} \]
20. \[ (AC \cdot BC)^2 = AB^2 \cdot CH^2 \]
21. \[ AC \cdot BC = AB \cdot CH \]
22. Из \( \triangle ABC \): \( \sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} \)
23. Из \( \triangle CBH \): \( \sin \angle ABC = \frac{CH}{BC} \)
24. Значит, \( \frac{AC}{AB} = \frac{CH}{BC} \)
25. \[ AC \cdot BC = AB \cdot CH \]
26. Мы имеем \( AC = 75 \) и \( CH = 9\sqrt{69} \).
27. Площадь треугольника ABC можно вычислить двумя способами:
28. \[ S = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} AB \cdot CH \]
29. \[ AC \cdot BC = AB \cdot CH \]
30. Также, \( BC^2 = AB^2 - AC^2 \) (по теореме Пифагора).
31. Подставим \( AB = \frac{AC \cdot BC}{CH} \) в уравнение Пифагора:
32. \[ BC^2 = (\frac{AC \cdot BC}{CH})^2 - AC^2 \]
33. \[ BC^2 = \frac{AC^2 \cdot BC^2}{CH^2} - AC^2 \]
34. \[ BC^2 (1 - \frac{AC^2}{CH^2}) = -AC^2 \]
35. \[ BC^2 (\frac{CH^2 - AC^2}{CH^2}) = -AC^2 \]
36. \[ BC^2 = \frac{-AC^2 \cdot CH^2}{CH^2 - AC^2} = \frac{AC^2 \cdot CH^2}{AC^2 - CH^2} \]
37. Это неверно, так как \( AC^2 \) должно быть больше \( CH^2 \), но \( AC \) - катет, а \( CH \) - высота.
38. Давайте используем другой подход.
39. Из \( \triangle ACH \) (прямоугольный):
40. \[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \]
41. Из \( \triangle CBH \) (прямоугольный):
42. \[ BC^2 = BH^2 + CH^2 \]
43. В прямоугольном \( \triangle ABC \):
44. \[ AC^2 = AH \cdot AB \]
45. \[ BC^2 = BH \cdot AB \]
46. И \( CH^2 = AH \cdot BH \)
47. Из \( AC^2 = AH \cdot AB \implies AH = \frac{AC^2}{AB} \)
48. Из \( BC^2 = BH \cdot AB \implies BH = \frac{BC^2}{AB} \)
49. Подставим в \( CH^2 = AH \cdot BH \):
50. \[ CH^2 = \frac{AC^2}{AB} \cdot \frac{BC^2}{AB} = \frac{AC^2 \cdot BC^2}{AB^2} \]
51. \[ AB^2 \cdot CH^2 = AC^2 \cdot BC^2 \]
52. \[ AB \cdot CH = AC \cdot BC \]
53. Мы ищем \( \sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} \).
54. Значит, \( AB = \frac{AC}{\sin \angle ABC} \).
55. Подставим это в \( AB \cdot CH = AC \cdot BC \):
56. \[ \frac{AC}{\sin \angle ABC} \cdot CH = AC \cdot BC \]
57. \[ \frac{CH}{\sin \angle ABC} = BC \]
58. \[ BC = \frac{CH}{\sin \angle ABC} \]
59. Теперь используем теорему Пифагора для \( \triangle ABC \):
60. \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
61. Подставим \( AB = \frac{AC}{\sin \angle ABC} \) и \( BC = \frac{CH}{\sin \angle ABC} \):
62. \[ (\frac{AC}{\sin \angle ABC})^2 = AC^2 + (\frac{CH}{\sin \angle ABC})^2 \]
63. \[ \frac{AC^2}{\sin^2 \angle ABC} = AC^2 + \frac{CH^2}{\sin^2 \angle ABC} \]
64. Умножим все на \( \sin^2 \angle ABC \):
65. \[ AC^2 = AC^2 \sin^2 \angle ABC + CH^2 \]
66. \[ AC^2 - CH^2 = AC^2 \sin^2 \angle ABC \]
67. \[ \sin^2 \angle ABC = \frac{AC^2 - CH^2}{AC^2} \]
68. Подставляем значения: \( AC = 75 \), \( CH = 9\sqrt{69} \).
69. \[ AC^2 = 75^2 = 5625 \]
70. \[ CH^2 = (9\sqrt{69})^2 = 81 \cdot 69 = 5589 \]
71. \[ \sin^2 \angle ABC = \frac{5625 - 5589}{5625} = \frac{36}{5625} \]
72. Упростим дробь. Оба числа делятся на 9: \( 36/9=4 \), \( 5625/9=625 \).
73. \[ \sin^2 \angle ABC = \frac{4}{625} \]
74. Теперь извлечем квадратный корень:
75. \[ \sin \angle ABC = \sqrt{\frac{4}{625}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{625}} = \frac{2}{25} \]

Ответ: 2/25