Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 1. В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 75, а высота СН, опущенная на гипотенузу, равна 9√69. Найдите sin ∠ABC.Фото задания

Ответ:

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Будем действовать по шагам, чтобы все было понятно.

Дано:

  • Прямоугольный треугольник АВС.
  • Катет AC = 75.
  • Высота CH = 9√69.

Найти: sin ∠ABC.

Решение:

  1. О свойствах высоты в прямоугольном треугольнике: В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, отсекает от нее два отрезка. Также есть важное свойство, связывающее катет, гипотенузу и отрезок гипотенузы, прилежащий к этому катету. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок гипотенузы.
  2. Площадь треугольника: Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами:
    • Через катеты: S = (1/2) * AC * BC
    • Через гипотенузу и высоту: S = (1/2) * AB * CH
  3. Приравниваем площади: (1/2) * AC * BC = (1/2) * AB * CH. Отсюда AC * BC = AB * CH.
  4. Используем теорему Пифагора: В прямоугольном треугольнике АВС: AB² = AC² + BC².
  5. Выражаем BC через AC и высоту: У нас есть AC = 75 и CH = 9√69.
  6. Вспомним еще одно свойство высоты: Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: CH² = AH * HB.
  7. Связь катета с отрезками гипотенузы: AC² = AB * AH и BC² = AB * HB.
  8. Из AC² = AB * AH, выразим AH: AH = AC² / AB = 75² / AB.
  9. Из BC² = AB * HB, выразим HB: HB = BC² / AB.
  10. Подставим в CH² = AH * HB: (9√69)² = (75² / AB) * (BC² / AB)
  11. (81 * 69) = (75² * BC²) / AB²
  12. 5589 = (5625 * BC²) / AB²
  13. Подставим AB² = AC² + BC² = 75² + BC²: 5589 = (5625 * BC²) / (5625 + BC²)
  14. 5589 * (5625 + BC²) = 5625 * BC²
  15. 31438125 + 5589 * BC² = 5625 * BC²
  16. 31438125 = (5625 - 5589) * BC²
  17. 31438125 = 36 * BC²
  18. BC² = 31438125 / 36 = 873281.25
  19. BC = √873281.25 ≈ 934.5
  20. Теперь найдем AB: AB² = AC² + BC² = 75² + 873281.25 = 5625 + 873281.25 = 878906.25
  21. AB = √878906.25 = 937.5
  22. Ищем sin ∠ABC: sin ∠ABC = AC / AB (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
  23. sin ∠ABC = 75 / 937.5
  24. sin ∠ABC = 0.08

Ответ: 0.08