7. В остроугольном треугольнике АВС угол В равен 60°. Докажите, что точки А, С, центр описанной окружности треугольника АВС и точка пересечения высот треугольника АВС лежат на одной окружности.

Question

Вопрос:

Фото задания

7. В остроугольном треугольнике АВС угол В равен 60°. Докажите, что точки А, С, центр описанной окружности треугольника АВС и точка пересечения высот треугольника АВС лежат на одной окружности.

Accepted Answer

Привет! Давай докажем это интересное свойство треугольника.

Дано:

Остроугольный треугольник АВС.
Угол В = 60°.

Доказать: Точки А, С, центр описанной окружности (О) и точка пересечения высот (H) лежат на одной окружности.

Доказательство:

Свойства центра описанной окружности (О): Точка О равноудалена от всех вершин треугольника. То есть OA = OB = OC = R (где R - радиус описанной окружности).
Свойства точки пересечения высот (H): Точка H является ортоцентром треугольника.
Рассмотрим четырехугольник AOC: OA = OC = R, поэтому треугольник AOC — равнобедренный. Угол AOC равен удвоенному углу B, так как угол при центре равен удвоенному углу при окружности, опирающемуся на ту же дугу AC.

Угол AOC = 2 * Угол B = 2 * 60° = 120°.

Рассмотрим четырехугольник AHС:

В треугольнике АВС:

Угол B = 60°.
Угол BAC + Угол BCA = 180° - 60° = 120°.

Высота BH перпендикулярна AC.
Высота AK перпендикулярна BC.
В четырехугольнике BHDC (где D - точка на AC, H - точка пересечения высот), углы BDC и BHC равны 90°.
Сумма углов четырехугольника равна 360°.
Угол DHC = 360° - 90° - 90° - Угол B = 360° - 180° - 60° = 120°.

Анализ:

Мы получили, что угол AOC = 120° и угол BHC = 120° (где H - точка пересечения высот).
Рассмотрим четырехугольник AHOC. У нас есть точки A, H, O, C.
Угол AOC = 120°.
Угол AHС = 120°.
Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то этот четырехугольник вписанный (его вершины лежат на одной окружности).
В нашем случае, у нас есть углы AOC и AHС. Нам нужно рассмотреть углы, опирающиеся на отрезок AC.
Угол ABC = 60°. Угол AOC = 2 * Угол ABC = 120°.
Теперь рассмотрим точку H (ортоцентр). Угол BHC = 180° - Угол B = 180° - 60° = 120°. (Это свойство ортоцентра: угол, образованный двумя высотами, равен 180° минус противолежащий угол треугольника).
Итак, мы имеем точки A, H, O, C. Углы AHС и AOC, опирающиеся на отрезок AC, равны 120°.
Если две точки (H и O) лежат по одну сторону от прямой AC и опираются на отрезок AC под одинаковым углом, то эти четыре точки (A, H, O, C) лежат на одной окружности.

Вывод: Точки А, С, центр описанной окружности (О) и точка пересечения высот (H) лежат на одной окружности, так как они опираются на отрезок AC под одинаковым углом.

Ответ: Доказано.