7. В остроугольном треугольнике АВС угол В равен 60°. Докажите, что точки А, С, центр описанной окружности треугольника АВС и точка пересечения высот треугольника АВС лежат на одной окружности.

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ - остроугольный} \]
• \[ \angle B = 60^{\circ} \]

Доказать:

• Точки A, C, центр описанной окружности (O) и точка пересечения высот (H) лежат на одной окружности.

Доказательство:

Рассмотрим центр описанной окружности O и точку пересечения высот H.

1. Связь между O, H и точками треугольника:

• Центр описанной окружности O является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
• Точка пересечения высот H является ортоцентром треугольника.
• Существует теорема, утверждающая, что точки A, C, O и H лежат на одной окружности (окружности Эйлера), если угол B равен 90°. Однако, в данном случае угол B = 60°.
• Рассмотрим другое свойство: точки A, B, C, O лежат на одной окружности по определению описанной окружности.
• Нам нужно доказать, что H также лежит на некоторой окружности, проходящей через A и C.

2. Свойства ортоцентра (H):

• Высоты треугольника пересекаются в одной точке H.
• Отражение ортоцентра H относительно любой стороны треугольника лежит на описанной окружности.

3. Свойства центра описанной окружности (O):

• O - центр окружности, проходящей через A, B, C.
• \[ OA = OB = OC = R \] (где R - радиус описанной окружности).

4. Рассмотрим окружность, проходящую через A, C и O.

• Угол \( \angle AOC \) является центральным углом, опирающимся на дугу AC.
• Угол \( \angle ABC = \angle B = 60^{\circ} \) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу AC.
• Связь между центральным и вписанным углом: \( \angle AOC = 2 \cdot \angle ABC \) (если O и B находятся по одну сторону от AC) или \( \angle AOC = 2 \cdot (180^{\circ} - \angle ABC) \) (если O и B по разные стороны от AC).
• Так как треугольник остроугольный, O и B лежат по одну сторону от AC.
• \[ \angle AOC = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} \]
• Таким образом, центральный угол \( \angle AOC \) равен 120°.

5. Рассмотрим точку H (ортоцентр).

• Известно, что точки A, H, C и точка, симметричная B относительно AC (пусть это B'), лежат на окружности.
• Также существует связь между H и O. Прямая Эйлера проходит через точки H, центра тяжести G и O.
• \[ \vec{OH} = 3 \vec{OG} \]
• \[ \vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} \] (векторное равенство для центра описанной окружности и ортоцентра).
• Это векторное равенство означает, что H лежит на окружности, проходящей через A, C, и O.
• Из этого равенства следует, что вектор \( \vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} \).
• Если мы рассмотрим окружность, проходящую через A, O, C, то нам нужно показать, что H также лежит на этой окружности.
• Более простое доказательство:
• Пусть \( O \) - центр описанной окружности.
• Рассмотрим окружность с центром в точке, середине отрезка OH, и радиусом \( R_{Эйлера} = \frac{R}{2} \). Эта окружность проходит через середины сторон, основания высот и середины отрезков от вершин до ортоцентра.
• Нам нужно доказать, что A, C, O, H лежат на одной окружности.
• Рассмотрим окружность, проходящую через A, C, O.
• Так как \( \angle AOC = 120^{\circ} \) (центральный угол), то вписанный угол, опирающийся на дугу AC, равен \( 120^{\circ}/2 = 60^{\circ} \) или \( (360^{\circ} - 120^{\circ})/2 = 120^{\circ} \).
• Угол \( \angle ABC = 60^{\circ} \) - вписанный угол, опирающийся на дугу AC.
• \[ \angle AOC = 120^{\circ} \]
• Рассмотрим точку H.
• Известно, что точки A, H, C и точка B' (симметричная B относительно AC) лежат на окружности.
• Также известно, что точки A, C, H и O лежат на одной окружности, если \( \angle B = 90^{\circ} \).
• Однако, в данном случае \( \angle B = 60^{\circ} \).
• Рассмотрим точки A, C, O. Они лежат на описанной окружности.
• Нам нужно показать, что H лежит на той же окружности.
• Пусть \( M \) - середина AC. \( OM \perp AC \).
• \[ OA = OC = R \]
• \[ \angle AOC = 120^{\circ} \]
• Теперь рассмотрим точку H.
• Пусть \( BB_1 \) и \( CC_1 \) - высоты. \( H = BB_1 \cap CC_1 \).
• Рассмотрим четырехугольник \( AB_1HC_1 \).
• \[ \angle AB_1H = 90^{\circ} \] и \[ \angle AC_1H = 90^{\circ} \]
• Следовательно, \( \angle B_1HC_1 = 180^{\circ} - \angle A \).
• Углы \( \angle AB_1H \) и \( \angle AC_1H \) опираются на отрезок AH.
• Значит, точки A, B_1, H, C_1 лежат на окружности с диаметром AH.
• Теперь рассмотрим точки A, C, O.
• Нам нужно доказать, что H лежит на окружности, проходящей через A, C, O.
• Рассмотрим окружность, построенную на AH как на диаметре.
• Точки B_1 и C_1 лежат на этой окружности.
• Рассмотрим точку O.
• \[ \angle ABC = 60^{\circ} \]
• \[ \angle AOC = 120^{\circ} \]
• Рассмотрим точки A, C, H.
• Известно, что \( \angle AH C = 180^{\circ} - \angle B \) (если \( \angle B \) - тупой) или \( \angle AH C = \angle B \) (если \( \angle B \) - острый).
• В нашем случае \( \angle B = 60^{\circ} \) (острый).
• Тогда \( \angle AH C = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \) (верно для углов, которые составляют сумму 180, например, \( \angle B \) и \( \angle B_1HC_1 \)).
• \[ \angle B_1HC_1 = 180^{\circ} - \angle A \]
• \[ \angle AH C = 180^{\circ} - \angle B \] - это неверно.
• Правильное утверждение: \( \angle AH C = 180^{\circ} - \angle B \) для остроугольного треугольника.
• Так как \( \angle B = 60^{\circ} \), то \( \angle AH C = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
• Мы уже доказали, что \( \angle AOC = 120^{\circ} \).
• Таким образом, углы \( \angle AH C \) и \( \angle AOC \) равны и опираются на одну и ту же хорду AC.
• Это означает, что точки A, H, O, C лежат на одной окружности.

Вывод:

Так как \( \angle AH C = 120^{\circ} \) и \( \angle AOC = 120^{\circ} \), и эти углы опираются на одну хорду AC, то точки A, H, O, C лежат на одной окружности.

Ответ: Доказано