2. Основания трапеции равны 3 и 14. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Дано:

• \[ ABCD \text{ - трапеция} \]
• \[ BC = 3 \text{ (меньшее основание)} \]
• \[ AD = 14 \text{ (большее основание)} \]
• \[ MN \text{ - средняя линия} \]
• \[ AC \text{ - диагональ} \]

Найти:

• Больший из отрезков, на которые диагональ AC делит среднюю линию MN.

Решение:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:
2. \[ MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{3 + 14}{2} = \frac{17}{2} = 8.5 \]
3. Пусть диагональ AC пересекает среднюю линию MN в точке P.
4. Рассмотрим треугольник ADC. Отрезок PN соединяет середину стороны AC (точка P, так как диагональ делит среднюю линию пополам) и точку N (середина AD).
5. Нет, это неверно. Диагональ AC пересекает среднюю линию MN.
6. Рассмотрим треугольник ABC. Диагональ AC пересекает среднюю линию MN.
7. Пусть диагональ AC пересекает среднюю линию MN в точке P.
8. Отрезок MP является средней линией треугольника ABC, так как M - середина AB, а P - точка пересечения средней линии MN с диагональю AC.
9. Нет, M и N - точки на боковых сторонах, делящие их пополам.
10. Пусть AB и CD - боковые стороны трапеции.
11. Средняя линия MN соединяет середины боковых сторон.
12. Диагональ AC пересекает среднюю линию MN в точке P.
13. Рассмотрим треугольник ADC. Диагональ AC и средняя линия MN пересекаются.
14. Пусть диагональ AC пересекает среднюю линию MN в точке P.
15. Диагональ AC делит среднюю линию MN на два отрезка: MP и PN.
16. Рассмотрим треугольник ADC. Диагональ AC и средняя линия MN.
17. Точка N - середина AD. Точка M - середина BC.
18. Средняя линия MN параллельна основаниям BC и AD.
19. Пусть диагональ AC пересекает среднюю линию MN в точке P.
20. Рассмотрим треугольник ADC. Отрезок NP соединяет середину AD (точку N) и точку пересечения P на диагонали AC.
21. Если P - середина AC, то NP - средняя линия треугольника ADC.
22. Тогда NP = 1/2 * CD (где CD - основание). Это неверно.
23. Средняя линия трапеции MN делится диагональю AC на два отрезка MP и PN.
24. Рассмотрим треугольник ADC. Диагональ AC.
25. Пусть P - точка пересечения AC и MN.
26. Отрезок PN является средней линией треугольника ADC, если P - середина AC и N - середина AD.
27. Но P - не обязательно середина AC.
28. Известно, что диагональ делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные полусуммам оснований.
29. Это неверно. Диагональ делит среднюю линию на отрезки, длины которых равны полуразности и полусумме оснований.
30. Рассмотрим диагональ AC. Она пересекает среднюю линию MN в точке P.
31. Отрезок MP и отрезок PN.
32. Рассмотрим треугольник ABC. Точка M - середина AB. Точка P - точка на AC.
33. Отрезок MP параллелен BC.
34. Если MP параллелен BC, и M - середина AB, то MP - средняя линия треугольника ABC.
35. Тогда P должна быть серединой AC.
36. В этом случае MP = 1/2 * BC = 1/2 * 3 = 1.5.
37. Рассмотрим треугольник ADC. Точка N - середина AD. Точка P - середина AC.
38. Тогда PN - средняя линия треугольника ADC.
39. PN = 1/2 * AD = 1/2 * 14 = 7.
40. Проверим: MP + PN = 1.5 + 7 = 8.5. Это равно средней линии MN.
41. Значит, диагональ делит среднюю линию на отрезки 1.5 и 7.
42. Больший из этих отрезков равен 7.
43. Таким образом, диагональ AC делит среднюю линию MN на отрезки длиной \( \frac{BC}{2} \) и \( \frac{AD}{2} \).
44. Меньший отрезок = \( \frac{3}{2} = 1.5 \).
45. Больший отрезок = \( \frac{14}{2} = 7 \).

Ответ: 7