1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 40 см, а периметр треугольника АВМ равен 32 см.

Пусть AB = AC = x, BC = y. Периметр ABC: 2x + y = 40. Периметр ABM: AB + BM + AM = 32. Так как AM - медиана, BM = MC = y/2. Периметр ABM: x + y/2 + AM = 32. Вычитая второе уравнение из первого: (2x + y) - (x + y/2 + AM) = 40 - 32. x + y/2 - AM = 8. Заметим, что периметр ABC = AB + AC + BC = AB + BC + AC. Периметр ABM = AB + BM + AM. Периметр AMC = AC + MC + AM. Периметр ABC = AB + BM + MC + AM + AM - AM = Периметр ABM + Периметр AMC - AM. Так как треугольник ABC равнобедренный и AM - медиана, то AM также является высотой и биссектрисой. Следовательно, треугольники ABM и AMC равны. Периметр ABM = Периметр AMC = 32. Периметр ABC = 32 + 32 - AM = 64 - AM. Мы знаем, что периметр ABC = 40. Следовательно, 40 = 64 - AM. AM = 64 - 40 = 24 см.