1. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС проведена высота Н. Найдите площадь трапеции, если СН=12см. а диагональ BD=15см.

Дано:

• Трапеция ABCD, AB=CD, AD || BC
• BH ⊥ AD, CH = 12 см
• BD = 15 см

Найти: S_ABCD

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. По теореме Пифагора:

• \[ BC^2 + CH^2 = BD^2 \]
• \[ BC^2 + 12^2 = 15^2 \]
• \[ BC^2 + 144 = 225 \]
• \[ BC^2 = 225 - 144 \]
• \[ BC^2 = 81 \]
• \[ BC = 9 \] см

В равнобедренной трапеции, если провести высоту из вершины B на основание AD, опустим высоту BK. Тогда:

• AD = BC + 2 * HD
• HD = CH (из свойств равнобедренной трапеции)
• AD = 9 + 2 * 12 = 9 + 24 = 33 см

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

• \[ S = \frac{a+b}{2} \times h \]
• \[ S_{ABCD} = \frac{AD+BC}{2} \times CH \]
• \[ S_{ABCD} = \frac{33+9}{2} \times 12 \]
• \[ S_{ABCD} = \frac{42}{2} \times 12 \]
• \[ S_{ABCD} = 21 \times 12 \]
• \[ S_{ABCD} = 252 \] см²

Ответ: 252 см²