3. В треугольнике две стороны равны 5 см и 8 см, а внешний угол при вершине, противолежащей третьей стороне, равна 120°. Найдите третью сторону треугольника.

Дано:

• Треугольник ABC
• a = 5 см, b = 8 см
• Внешний угол при вершине C равен 120°

Найти: c (третью сторону)

Решение:

Если внешний угол при вершине равен 120°, то внутренний угол при этой же вершине равен:

• \[ \alpha = 180° - 120° = 60° \]

Теперь у нас есть две стороны (a = 5 см, b = 8 см) и угол между ними (∜C = 60°). Мы можем найти третью сторону (c) с помощью теоремы косинусов:

• \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab   \alpha \]
• \[ c^2 = 5^2 + 8^2 - 2  5  8  \cos(60°) \]
• \[ c^2 = 25 + 64 - 2  40  \frac{1}{2} \]
• \[ c^2 = 89 - 40 \]
• \[ c^2 = 49 \]
• \[ c = \sqrt{49} \]
• \[ c = 7 \] см

Ответ: 7 см