5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, радиус вписанной окружности — 2 см. Найдите площадь треугольника.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC, ∜C = 90°
• c (гипотенуза AB) = 13 см
• r (радиус вписанной окружности) = 2 см

Найти: S (площадь треугольника)

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

• \[ S = \frac{1}{2} ab \]

Также площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности и полупериметр:

• \[ S = p  r \]

где p — полупериметр: \[ p = \frac{a+b+c}{2} \]

Подставим формулу полупериметра в формулу площади:

• \[ S = \frac{a+b+c}{2}  r \]

Мы знаем c = 13 см и r = 2 см:

• \[ S = \frac{a+b+13}{2}  2 \]
• \[ S = a+b+13 \]

Теперь приравняем две формулы для площади:

• \[ \frac{1}{2} ab = a+b+13 \]

Также мы знаем, что для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора:

• \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
• \[ a^2 + b^2 = 13^2 \]
• \[ a^2 + b^2 = 169 \]

Из формулы площади S = a+b+13, выразим a+b:

• a+b = S - 13

Возведем обе стороны в квадрат:

• (a+b)^2 = (S - 13)^2
• a^2 + 2ab + b^2 = S^2 - 26S + 169

Заменим a^2 + b^2 на 169:

• 169 + 2ab = S^2 - 26S + 169
• 2ab = S^2 - 26S

Также мы знаем, что S = rac{1}{2}ab, следовательно, ab = 2S. Подставим это в уравнение:

• 2(2S) = S^2 - 26S
• 4S = S^2 - 26S

Перенесем все в одну сторону:

• S^2 - 26S - 4S = 0
• S^2 - 30S = 0
• S(S - 30) = 0

Получаем два возможных значения для площади: S = 0 (что невозможно для треугольника) или S = 30.

Ответ: 30 см²