2. Разность длин гипотенузы и катета, лежащего в данном треугольнике против угла в 30°, равна 24 см. Найдите длину окружности, описанной около треугольника.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC, ∜C = 90°
• ∜A = 30°
• AB - BC = 24 см

Найти: L (длину описанной окружности)

Решение:

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Обозначим гипотенузу как c (AB), а катет, противолежащий углу A, как a (BC).

• \[ a = \frac{1}{2} c \]

Из условия задачи:

• \[ c - a = 24 \]

Подставим первое уравнение во второе:

• \[ c - \frac{1}{2} c = 24 \]
• \[ \frac{1}{2} c = 24 \]
• \[ c = 48 \] см

Длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равна диаметру этого треугольника (гипотенузе). Диаметр описанной окружности равен гипотенузе, то есть 2R = c.

• \[ D = c = 48 \] см

Длина окружности вычисляется по формуле:

• \[ L = \pi D \]
• \[ L = 48 \pi \] см

Ответ: 48π см