1. В трапеции ABCD известно, что AD = 6, BC = 2, а её площадь равна 32. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN — средняя линия трапеции ABCD.

Пусть высота трапеции ABCD равна h. Тогда её площадь равна \(S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}h\).

Так как MN — средняя линия, \(MN=\frac{AD+BC}{2}=4\), а высота трапеции BCNM равна \(h/2\).

Поэтому \(S_{BCNM}=\frac{BC+MN}{2}\cdot\frac h2\). Отношение площадей:

\(\frac{S_{BCNM}}{S_{ABCD}}=\frac{BC+MN}{2(AD+BC)}=\frac{2+4}{2(6+2)}=\frac38\).

\(S_{BCNM}=32\cdot\frac38=12\).

Ответ: 12.