1. В треугольнике ABC AC = BC = 12, sin B = √15/4. Найдите AB.

Так как AC = BC, треугольник равнобедренный, поэтому ∠A = ∠B.

Найдём косинус угла B: \(\cos B=\sqrt{1-\sin^2 B}=\sqrt{1-\frac{15}{16}}=\frac14\).

Тогда \(\sin C=\sin(180^\circ-2B)=\sin 2B=2\sin B\cos B=\frac{\sqrt{15}}{8}\).

По теореме синусов \(\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\). Поскольку ∠A = ∠B, получаем \(AB=12\cdot\frac{\sin C}{\sin B}=12\cdot\frac{\sqrt{15}/8}{\sqrt{15}/4}=6\).

Ответ: 6.