3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E, F, E₁ и F₁ являются серединами рёбер BC, DC, B₁C₁ и D₁C₁ соответственно. Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью EFF₁E₁, равен 16. Найдите объём куба.

Пусть ребро куба равно \(a\). Плоскость EFF₁E₁ отсекает треугольную призму с основаниями EFC и E₁F₁C₁.

В основании куба треугольник EFC прямоугольный: CE = CF = \(a/2\). Поэтому его площадь равна \(S_{EFC}=\frac12\cdot\frac a2\cdot\frac a2=\frac{a^2}{8}\).

Высота призмы равна ребру куба \(a\), значит её объём \(V=\frac{a^2}{8}\cdot a=\frac{a^3}{8}\).

По условию \(\frac{a^3}{8}=16\), откуда \(a^3=128\). Объём куба равен \(a^3\).

Ответ: 128.