1. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 8, высота AH равна 2. Найдите синус угла BAC.

Пусть высота из вершины C на AB равна h. Площадь треугольника можно выразить двумя способами: \(S=\frac12\cdot AB\cdot h=4h\) и \(S=\frac12\cdot BC\cdot AH=BC\).

Так как треугольник равнобедренный, высота из C делит основание AB пополам. Поэтому \(BC^2=4^2+h^2=16+h^2\), откуда \(BC=\sqrt{16+h^2}\).

Из равенства площадей получаем \(\sqrt{16+h^2}=4h\). Тогда \(16+h^2=16h^2\), следовательно, \(h=\frac{4}{\sqrt{15}}\).

По теореме Пифагора \(AC=\sqrt{4^2+h^2}=\frac{16}{\sqrt{15}}\). Следовательно, \(\sin\angle BAC=\frac{h}{AC}=\frac14\).

Ответ: \(\frac14\).