1. В треугольнике ABC на стороне AB выбрана точка D так, что BD:BA = 1:2. Прямая, параллельная AC и проходящая через точку D, пересекает отрезок BC в точке D₁. Докажите подобие треугольников DBD₁ и ABC. Найдите DD₁, если AC = 40 см.

Так как BD:BA = 1:2, то BD/BA = 1/2. По условию DD₁ ∥ AC, поэтому ∠BDD₁ = ∠BAC и ∠BD₁D = ∠BCA. Следовательно, △BDD₁ ∼ △BAC по двум углам.

Коэффициент подобия малого треугольника к большому равен BD/BA = 1/2. Поэтому DD₁/AC = 1/2, откуда DD₁ = 40 · 1/2 = 20 см.

Ответ: △DBD₁ ∼ △ABC; DD₁ = 20 см.