3. Дан прямой параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, основанием которого является ромб ABCD, угол BAD = 30°, AB = 32, BB₁ = 12. Найти площадь AB₁C₁D.

Четырёхугольник AB₁C₁D — параллелограмм: AB₁ ∥ DC₁ не требуется; его противоположные стороны AB₁ и DC₁ здесь не совпадают по направлению, поэтому используем векторы сторон AB₁ и AD: стороны B₁C₁ и DA параллельны, а AB₁ и C₁D также параллельны.

Площадь параллелограмма AB₁C₁D равна сумме вкладов горизонтальной и вертикальной составляющих вектора AB₁ относительно AD: S = AB · AD · sin 30° + BB₁ · AD. В ромбе AD = AB = 32.

S = 32 · 32 · 1/2 + 12 · 32 = 512 + 384 = 896.

Ответ: 896.