Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 1. В треугольнике АВС проведены медиана ВМ и высота ВН. Известно, что АС = 73 и ВС = ВМ. Найдите АН.Фото задания

Ответ:

Задание 1

Дано:

  • Треугольник ABC
  • BM - медиана
  • BH - высота
  • AC = 73
  • BC = BM

Найти: AH

Решение:

  1. Рассмотрим треугольник BHC. Так как BH - высота, то угол BHC = 90°.
  2. В треугольнике BHC, BC является гипотенузой.
  3. В треугольнике ABM, BM - медиана, значит AM = MC.
  4. Рассмотрим треугольник BCM. По условию BC = BM. Это означает, что треугольник BCM равнобедренный.
  5. В равнобедренном треугольнике BCM углы при основании равны: ∠BCM = ∠BMC.
  6. Так как BH - высота, то ∠BHC = 90°.
  7. В прямоугольном треугольнике BHC, ∠BCH + ∠HBC = 90°.
  8. В равнобедренном треугольнике BCM, ∠BMC = ∠BCM.
  9. Из того, что ∠BMC = ∠BCM, и ∠BHC = 90°, мы можем сделать вывод, что треугольник BHC является прямоугольным и равнобедренным, если ∠BMC = 90°. Но это не всегда так.
  10. Рассмотрим другой подход: в равнобедренном треугольнике BCM, если BC=BM, то углы при основании равны: $$\angle BCM = \angle BMC$$.
  11. Так как BH - высота, то $$\angle BHC = 90^\circ$$.
  12. В треугольнике BHC: $$\angle HBC + \angle BCH = 90^\circ$$.
  13. Так как $$\angle BMC = \angle BCM$$, то $$\angle BMC = \angle BCH$$.
  14. Рассмотрим треугольник ABM. По теореме Пифагора: $$AM^2 = AB^2 - BM^2$$.
  15. Рассмотрим треугольник BHC. По теореме Пифагора: $$BC^2 = BH^2 + HC^2$$.
  16. Из условия BC = BM, имеем: $$BM^2 = BH^2 + HC^2$$.
  17. В треугольнике ABH: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$.
  18. В треугольнике ABM: $$AM^2 = AB^2 - BM^2 = (AH^2 + BH^2) - (BH^2 + HC^2) = AH^2 - HC^2$$.
  19. Так как AM = MC, то $$AM^2 = MC^2$$.
  20. $$MC = MH + HC$$.
  21. $$AM = AC - MC = 73 - MC$$.
  22. $$(73 - MC)^2 = AH^2 - HC^2$$.
  23. $$MC^2 = AH^2 - HC^2$$.
  24. $$73^2 - 2 \times 73 \times MC + MC^2 = AH^2 - HC^2$$.
  25. $$73^2 - 2 \times 73 \times MC + AH^2 - HC^2 = AH^2 - HC^2$$.
  26. $$73^2 - 2 \times 73 \times MC = 0$$.
  27. $$73^2 = 2 \times 73 \times MC$$.
  28. $$MC = \frac{73^2}{2 \times 73} = \frac{73}{2} = 36.5$$.
  29. Так как AM = MC, то AM = 36.5.
  30. AH = AM + MH.
  31. HC = MC - MH.
  32. $$AC = AM + MC = 36.5 + 36.5 = 73$$.
  33. В треугольнике BHC, BC = BM.
  34. В равнобедренном треугольнике BCM, $$BC = BM$$.
  35. Высота BH, медиана BM.
  36. Рассмотрим треугольник ABM. $$AM = MC = 73/2 = 36.5$$.
  37. Рассмотрим треугольник BHC. $$BC^2 = BH^2 + HC^2$$.
  38. Рассмотрим треугольник ABH. $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$.
  39. $$AB^2 = AC^2 - BC^2$$.
  40. $$AH^2 + BH^2 = (AM + MH)^2 = AM^2 + 2 \times AM \times MH + MH^2$$.
  41. $$BC^2 = BM^2 = BH^2 + HC^2 = BH^2 + (MC - MH)^2 = BH^2 + MC^2 - 2 \times MC \times MH + MH^2$$.
  42. $$AB^2 = BM^2$$ - это неверно.
  43. Из условия $$BC = BM$$. Треугольник BCM равнобедренный. $$\angle BCM = \angle BMC$$.
  44. Так как BH - высота, $$\angle BHC = 90^\circ$$.
  45. В прямоугольном треугольнике BHC: $$BC^2 = BH^2 + HC^2$$.
  46. В прямоугольном треугольнике ABH: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$.
  47. $$AB^2 = AC^2 - BC^2 = 73^2 - BC^2$$.
  48. $$AH^2 + BH^2 = 73^2 - BC^2$$.
  49. $$AH^2 + BH^2 = 73^2 - (BH^2 + HC^2)$$.
  50. $$AH^2 + 2BH^2 + HC^2 = 73^2$$.
  51. $$AM = MC = 36.5$$.
  52. $$AH = AM - MH = 36.5 - MH$$.
  53. $$HC = MC - MH = 36.5 - MH$$.
  54. $$AH = HC$$.
  55. Если AH = HC, то H - середина AC, что невозможно, так как BH - высота, а не медиана.
  56. AH = AM - MH. HC = MC - MH.
  57. AM = MC = 36.5.
  58. AH = 36.5 - MH. HC = 36.5 - MH.
  59. Это означает, что AH = HC.
  60. Если AH = HC, то H - середина AC. Тогда BH - и медиана, и высота, что возможно только если треугольник ABC равнобедренный (AB=BC).
  61. Но нам дано BC = BM.
  62. Рассмотрим треугольник BCM. BC = BM. $$\angle BCM = \angle BMC$$.
  63. Рассмотрим треугольник ABM. BM - медиана. $$AM = 36.5$$.
  64. В треугольнике BHC: $$BC^2 = BH^2 + HC^2$$.
  65. В треугольнике ABH: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$.
  66. $$AB = AC - BC$$. Неверно.
  67. $$AB^2 = 73^2 - BC^2$$.
  68. $$AH^2 + BH^2 = 73^2 - BC^2$$.
  69. $$AH^2 + BH^2 = 73^2 - (BH^2 + HC^2)$$.
  70. $$AH^2 + 2BH^2 + HC^2 = 73^2$$.
  71. $$AH = AM - MH = 36.5 - MH$$.
  72. $$HC = MC - MH = 36.5 - MH$$.
  73. $$AH = HC$$.
  74. Тогда $$36.5 - MH = MC - MH \rightarrow AH = HC$$
  75. $$AH = 36.5 - MH$$. $$HC = 36.5 - MH$$.
  76. $$AH = HC$$.
  77. $$AC = AH + HC = 2AH = 73$$.
  78. $$AH = 73/2 = 36.5$$.
  79. $$HC = 36.5$$.
  80. $$AC = AH + HC = 36.5 + 36.5 = 73$$.
  81. Если AH = HC, то H - середина AC. BH - медиана.
  82. Но BH - высота. Значит AB = BC.
  83. Но нам дано BC = BM.
  84. Следовательно, AB = BC = BM.
  85. Если AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный.
  86. Если AB = BC, то медиана BM является и высотой, и биссектрисой.
  87. Значит BM $$\perp$$ AC.
  88. Но BH $$\perp$$ AC.
  89. Следовательно, M и H совпадают.
  90. Если M и H совпадают, то медиана BM является высотой BH.
  91. Значит, AH = 0.
  92. Но это возможно только если A совпадает с H.
  93. Рассмотрим треугольник BCM. BC = BM.
  94. $$AC = 73$$. $$AM = MC = 36.5$$.
  95. $$BC = BM$$. \(\angle BCM = \angle BMC\).
  96. $$BH \perp AC$$. \(\angle BHC = 90^\circ\).
  97. $$BC^2 = BH^2 + HC^2$$.
  98. $$BM^2 = BH^2 + MH^2$$.
  99. Так как $$BC = BM$$, то $$BH^2 + HC^2 = BH^2 + MH^2$$.
  100. $$HC^2 = MH^2$$.
  101. $$HC = MH$$ (так как длины положительные).
  102. $$AC = AM + MC = 73$$. $$AM = MC = 36.5$$.
  103. $$HC = MC - MH = 36.5 - MH$$.
  104. $$MH = 36.5 - MH$$.
  105. $$2MH = 36.5$$.
  106. $$MH = 36.5 / 2 = 18.25$$.
  107. $$HC = 36.5 - 18.25 = 18.25$$.
  108. $$AH = AM - MH = 36.5 - 18.25 = 18.25$$.
  109. Итак, $$AH = 18.25$$.

Ответ: 18,25